天津建设银行网站首页,网页设计基础教学设计及ppt,北京网站建设的报价,wordpress栏目更改无法显示文章目录 版权声明补充知识求和公式的性质常用希腊字符读音 特征值和特征向量相似矩阵相似对角化实对称矩阵 版权声明
本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。
补充知识
求和公式的性质 ∑ i 1 n k a i k ∑ i 1 n a i \sum_{i1}^nka_ik\sum_{i1}^na_i i1∑n… 文章目录 版权声明补充知识求和公式的性质常用希腊字符读音 特征值和特征向量相似矩阵相似对角化实对称矩阵 版权声明
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求和公式的性质 ∑ i 1 n k a i k ∑ i 1 n a i \sum_{i1}^nka_ik\sum_{i1}^na_i i1∑nkaiki1∑nai ∑ i 1 n ( a i b i ) ∑ i 1 n a i ∑ i 1 n b i \sum_{i1}^n(a_ib_i)\sum_{i1}^na_i\sum_{i1}^nb_i i1∑n(aibi)i1∑naii1∑nbi ∑ i 1 m ∑ j 1 n a i j ∑ j 1 n ∑ i 1 m a i j \sum_{i1}^m\sum_{j1}^na_{ij}\sum_{j1}^n\sum_{i1}^ma_{ij} i1∑mj1∑naijj1∑ni1∑maij
常用希腊字符读音 α \alpha α/ælfə/ β \beta β/betə/ Γ \Gamma Γ、 γ \gamma γ/gama/ Δ \Delta Δ、 δ \delta δ/deltə/ ε \varepsilon ε/epsilon/ υ \upsilon υ/apsilon/ θ \theta θ/θitə/ π \pi π/paɪ/ η \eta η/ita/ Λ \Lambda Λ、 λ \lambda λ/læmdə/ μ \mu μ/mju/ ξ \xi ξ/ksi/ Σ \Sigma Σ、 σ \sigma σ/sigmə/ τ \tau τ/taʊ/ Φ \varPhi Φ、 φ \varphi φ/faɪ/ ψ \psi ψ/psi/ Ω \Omega Ω、 ω \omega ω/omiga/ ρ \rho ρ/ru:/
特征值和特征向量
设 A [ a i j ] A[a_{ij}] A[aij]为一个 n n n阶矩阵如果存在一个数 λ \lambda λ及非零的 n n n维向量 α \alpha α使得 A α λ α ① \tag*{①} A\alpha\lambda\alpha Aαλα① 成立则称 λ \lambda λ是矩阵 A A A的一个特征值称非零向量 α \alpha α是矩阵 A A A属于特征值 λ \lambda λ的一个特征向量。则行列式 ∣ λ E − A ∣ ∣ λ − a 11 − a 12 … − a 1 n − a 21 λ − a 22 … − a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ − a n 1 − a n 2 … λ − a n n ∣ |\lambda E-A| \begin{vmatrix} \lambda-a_{11}-a_{12}\dots-a_{1n}\\ -a_{21}\lambda-a_{22}\dots-a_{2n}\\ \vdots\vdots\vdots\\ -a_{n1}-a_{n2}\dots\lambda-a_{nn} \end{vmatrix} ∣λE−A∣ λ−a11−a21⋮−an1−a12λ−a22⋮−an2………−a1n−a2n⋮λ−ann 称为矩阵 A A A的特征多项式 ∣ λ E − A ∣ 0 |\lambda E-A|0 ∣λE−A∣0称为 A A A的特征方程。由①可知 ( λ E − A ) α O , α ≠ O ② \tag*{②}(\lambda E-A)\alphaO,\alpha\neq O (λE−A)αO,αO② 即 α \alpha α是方程②的非零解那么求特征向量的步骤如下
1先由特征方程求出矩阵 A A A的特征值 λ \lambda λ共 n n n个。2再由②求基础解系即矩阵 A A A属于特征值 λ i \lambda_i λi的线性无关的特征向量。
特征值的性质如下
如果 α \alpha α是矩阵 A A A针对于特征值 λ \lambda λ的特征向量那么只要 k ≠ 0 k\neq0 k0则 k α k\alpha kα仍是 A A A针对于特征值 λ \lambda λ的特征向量。 证明 A α λ α A ( k α ) k A α k ( λ α ) λ ( k α ) A\alpha\lambda\alpha\\ A(k\alpha)kA\alphak(\lambda\alpha)\lambda(k\alpha) AαλαA(kα)kAαk(λα)λ(kα)如果 α 1 , α 2 … , α t \alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_t α1,α2…,αt都是属于矩阵 A A A的特征值 λ \lambda λ的特征向量那么当 k 1 α 1 k 2 α 2 ⋯ k t α t k_1\alpha_1k_2\alpha_2\dotsk_t\alpha_t k1α1k2α2⋯ktαt非零时 k 1 α 1 k 2 α 2 ⋯ k t α t k_1\alpha_1k_2\alpha_2\dotsk_t\alpha_t k1α1k2α2⋯ktαt仍然是属于矩阵 A A A的特征值 λ \lambda λ的特征向量。 证明由 A α 1 λ α 1 , A α 2 λ α 2 A\alpha_1\lambda\alpha_1,A\alpha_2\lambda\alpha_2 Aα1λα1,Aα2λα2得 A ( k 1 α 1 k 2 α 2 ) k 1 A α 1 k 2 A α 2 k 1 ( λ α 1 ) k 2 ( λ α 2 ) λ ( k 1 α 1 k 2 α 2 2 ) A(k_1\alpha_1k_2\alpha_2)k_1A\alpha_1k_2A\alpha_2k_1(\lambda\alpha_1)k_2(\lambda\alpha_2)\lambda(k_1\alpha_1k_2\alpha_22) A(k1α1k2α2)k1Aα1k2Aα2k1(λα1)k2(λα2)λ(k1α1k2α22)设 A A A是 n n n阶矩阵 λ 1 , λ 2 , … , λ n \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n λ1,λ2,…,λn是矩阵 A A A的特征值则 ∑ λ i ∑ a i i , ∏ λ i ∣ A ∣ \sum\lambda_i\sum a_{ii},\prod\lambda_i|A| ∑λi∑aii,∏λi∣A∣ 证明设三阶矩阵 A A A则有 ∣ λ E − A ∣ ∣ λ − a 11 − a 12 − a 13 − a 21 λ − a 22 − a 23 − a 31 − a 32 λ − a 33 ∣ ∣ λ − a 12 − a 13 0 λ − a 22 − a 23 0 − a 32 λ − a 33 ∣ ∣ − a 11 − a 12 − a 13 − a 21 λ − a 22 − a 23 − a 31 − a 32 λ − a 33 ∣ ∣ λ 0 − a 13 0 λ − a 23 0 0 λ − a 33 ∣ ∣ λ − a 12 − a 13 0 − a 22 − a 23 0 − a 32 λ − a 33 ∣ ∣ − a 11 0 − a 13 − a 21 λ − a 23 − a 31 0 λ − a 33 ∣ ∣ − a 11 − a 12 − a 13 − a 21 − a 22 − a 23 − a 31 − a 32 λ − a 33 ∣ … λ 3 − ( a 11 a 22 a 33 ) λ 2 S λ − ∣ A ∣ ( λ − λ 1 ) ( λ − λ 2 ) ( λ − λ 3 ) |\lambda E-A| \begin{vmatrix} \lambda-a_{11}-a_{12}-a_{13}\\ -a_{21}\lambda-a_{22}-a_{23}\\ -a_{31}-a_{32}\lambda-a_{33} \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} \lambda-a_{12}-a_{13}\\ 0\lambda-a_{22}-a_{23}\\ 0-a_{32}\lambda-a_{33} \end{vmatrix} {} \begin{vmatrix} -a_{11}-a_{12}-a_{13}\\ -a_{21}\lambda-a_{22}-a_{23}\\ -a_{31}-a_{32}\lambda-a_{33} \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} \lambda0-a_{13}\\ 0\lambda-a_{23}\\ 00\lambda-a_{33} \end{vmatrix} {} \begin{vmatrix} \lambda-a_{12}-a_{13}\\ 0-a_{22}-a_{23}\\ 0-a_{32}\lambda-a_{33} \end{vmatrix} {} \begin{vmatrix} -a_{11}0-a_{13}\\ -a_{21}\lambda-a_{23}\\ -a_{31}0\lambda-a_{33} \end{vmatrix} {} \begin{vmatrix} -a_{11}-a_{12}-a_{13}\\ -a_{21}-a_{22}-a_{23}\\ -a_{31}-a_{32}\lambda-a_{33} \end{vmatrix}\\ \dots\\ \lambda^3-(a_{11}a_{22}a_{33})\lambda^2S\lambda-|A|\\ (\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)(\lambda-\lambda_3) ∣λE−A∣ λ−a11−a21−a31−a12λ−a22−a32−a13−a23λ−a33 λ00−a12λ−a22−a32−a13−a23λ−a33 −a11−a21−a31−a12λ−a22−a32−a13−a23λ−a33 λ000λ0−a13−a23λ−a33 λ00−a12−a22−a32−a13−a23λ−a33 −a11−a21−a310λ0−a13−a23λ−a33 −a11−a21−a31−a12−a22−a32−a13−a23λ−a33 …λ3−(a11a22a33)λ2Sλ−∣A∣(λ−λ1)(λ−λ2)(λ−λ3) 设特征方程的解为 λ 1 , λ 2 , λ 3 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 λ1,λ2,λ3那么 ( λ − λ 1 ) ( λ − λ 2 ) ( λ − λ 3 ) λ 3 − ( λ 1 λ 2 λ 3 ) λ 2 S λ − λ 1 λ 2 λ 3 (\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)(\lambda-\lambda_3)\lambda^3-(\lambda_1\lambda_2\lambda_3)\lambda^2S\lambda-\lambda_1\lambda_2\lambda_3 (λ−λ1)(λ−λ2)(λ−λ3)λ3−(λ1λ2λ3)λ2Sλ−λ1λ2λ3 所以 ∑ λ i ∑ a i i , ∏ λ i ∣ A ∣ \sum\lambda_i\sum a_{ii},\prod\lambda_i|A| ∑λi∑aii,∏λi∣A∣ 其中 S S S为一次项的系数不重要。如果 λ 1 , λ 2 , … , λ m \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m λ1,λ2,…,λm是矩阵 A A A的互不相同的特征值 α 1 , α 2 … , α m \alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_m α1,α2…,αm分别是与之对应的特征向量则 α 1 , α 2 … , α m \alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_m α1,α2…,αm线性无关。 证明对特征值的个数 m m m做数学归纳法当 m 1 m1 m1时 α 1 ≠ O \alpha_1\neq O α1O命题正确。设 m k − 1 mk-1 mk−1时命题正确当 m k mk mk时设 x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x k − 1 α k − 1 x k α k O ① \tag*{①}x_1\alpha_1x_2\alpha_2\dotsx_{k-1}\alpha_{k-1}x_k\alpha_kO x1α1x2α2⋯xk−1αk−1xkαkO① 用 A A A左乘上式有 x 1 λ 1 α 1 x 2 λ 2 α 2 ⋯ x k − 1 λ k − 1 α k − 1 x k λ k α k O ② \tag*{②}x_1\lambda_1\alpha_1x_2\lambda_2\alpha_2\dotsx_{k-1}\lambda_{k-1}\alpha_{k-1}x_k\lambda_k\alpha_kO x1λ1α1x2λ2α2⋯xk−1λk−1αk−1xkλkαkO② 用 λ k \lambda_k λk乘①得 x 1 λ k α 1 x 2 λ k α 2 ⋯ x k − 1 λ k α k − 1 x k λ k α k O ③ \tag*{③}x_1\lambda_k\alpha_1x_2\lambda_k\alpha_2\dotsx_{k-1}\lambda_{k}\alpha_{k-1}x_k\lambda_k\alpha_kO x1λkα1x2λkα2⋯xk−1λkαk−1xkλkαkO③ ② − - −③得 x 1 ( λ 1 − λ k ) α 1 x 2 ( λ 2 − λ k ) α 2 ⋯ x k − 1 ( λ k − 1 − λ k ) α k − 1 O x_1(\lambda_1-\lambda_k)\alpha_1x_2(\lambda_2-\lambda_k)\alpha_2\dotsx_{k-1}(\lambda_{k-1}-\lambda_k)\alpha_{k-1}O x1(λ1−λk)α1x2(λ2−λk)α2⋯xk−1(λk−1−λk)αk−1O 由归纳假设结论得 x 1 0 , x 2 0 , … , x k − 1 0 x_10,x_20,\dots,x_{k-1}0 x10,x20,…,xk−10 代入①得 x k α k O x_k\alpha_kO xkαkO 所以 x k 0 x_k0 xk0因此 α 1 , α 2 … , α m \alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_m α1,α2…,αm线性无关。如果 A A A是 n n n阶矩阵 λ \lambda λ是 A A A的 m m m重特征值则属于 λ \lambda λ的线性无关的特征向量最多有 m m m个。
相似矩阵
设 A , B A,B A,B都是 n n n阶矩阵如果存在可逆矩阵 P P P使得 P − 1 A P B P^{-1}APB P−1APB 则称矩阵 A A A和 B B B相似记作 A ∼ B A\thicksim B A∼B 相似矩阵的性质如下 A ∼ A A\thicksim A A∼A A ∼ B ⇔ B ∼ A A\thicksim B\Leftrightarrow B\thicksim A A∼B⇔B∼A A ∼ B , B ∼ A ⇒ A ∼ C A\thicksim B,B\thicksim A\Rightarrow A\thicksim C A∼B,B∼A⇒A∼C 证明设 P 1 − 1 A P 1 B , P 2 − 1 B P 2 C P_1^{-1}AP_1B,P_2^{-1}BP_2C P1−1AP1B,P2−1BP2C则 P 2 − 1 ( P 1 − 1 A P 1 ) P 2 C P_2^{-1}(P_1^{-1}AP_1)P_2C P2−1(P1−1AP1)P2C 令 P P 1 P 2 PP_1P_2 PP1P2有 P − 1 ( P 1 P 2 ) − 1 P 2 − 1 P 1 − 1 P^{-1}(P_1P_2)^{-1}P_2^{-1}P_1^{-1} P−1(P1P2)−1P2−1P1−1所以 P − 1 A P C P^{-1}APC P−1APC。如果 A ∼ B A\thicksim B A∼B那么 A 2 ∼ B 2 A^2\thicksim B^2 A2∼B2 A k E ∼ B k E AkE\thicksim BkE AkE∼BkE如果 A A A可逆则 A − 1 ∼ B − 1 A^{-1}\thicksim B^{-1} A−1∼B−1 A 1 ∼ B 1 , A 2 ∼ B 2 ⇒ [ A 1 A 2 ] ∼ [ B 1 B 2 ] A_1\thicksim B_1,A_2\thicksim B_2 \Rightarrow\begin{bmatrix}A_1\\A_2\end{bmatrix}\thicksim\begin{bmatrix}B_1\\B_2\end{bmatrix} A1∼B1,A2∼B2⇒[A1A2]∼[B1B2] A ∼ B ⇒ r ( A ) r ( B ) A\thicksim B\Rightarrow r(A)r(B) A∼B⇒r(A)r(B) 证明 r ( B ) r ( P − 1 A P ) r ( A P ) r ( A ) r(B)r(P^{-1}AP)r(AP)r(A) r(B)r(P−1AP)r(AP)r(A) A ∼ B ⇒ ∣ A ∣ ∣ B ∣ A\thicksim B\Rightarrow |A||B| A∼B⇒∣A∣∣B∣ 证明 ∣ B ∣ ∣ P − 1 A P ∣ ∣ P − 1 ∣ ∣ A ∣ ∣ P ∣ ∣ A ∣ |B||P^{-1}AP||P^{-1}||A||P||A| ∣B∣∣P−1AP∣∣P−1∣∣A∣∣P∣∣A∣ A ∼ B ⇒ ∣ λ E − A ∣ ∣ λ E − B ∣ A\thicksim B\Rightarrow |\lambda E-A||\lambda E-B| A∼B⇒∣λE−A∣∣λE−B∣ 证明 ∣ λ E − B ∣ ∣ λ E − P − 1 A P ∣ ∣ P − 1 ( λ E − A ) P ∣ ∣ P − 1 ∣ ∣ λ E − A ∣ ∣ P ∣ ∣ λ E − A ∣ |\lambda E-B||\lambda E-P^{-1}AP||P^{-1}(\lambda E-A)P||P^{-1}||\lambda E-A||P||\lambda E-A|\\ ∣λE−B∣∣λE−P−1AP∣∣P−1(λE−A)P∣∣P−1∣∣λE−A∣∣P∣∣λE−A∣
相似对角化
如果 A A A能与对角矩阵相似则称 A A A可对角化。 P − 1 A P Λ A P P Λ P^{-1}AP\Lambda\\ APP\Lambda P−1APΛAPPΛ 假设 A A A是三阶矩阵对 P P P按列分块 A ( p 1 , p 2 , p 3 ) ( p 1 , p 2 , p 3 ) [ λ 1 λ 2 λ 3 ] [ A p 1 , A p 2 , A p 3 ] [ λ 1 p 1 , λ 2 p 2 , λ 3 p 3 ] ⇓ A p 1 λ 1 p 1 , A p 2 λ 2 p 2 , A p 3 λ 3 p 3 A(p_1,p_2,p_3)(p_1,p_2,p_3) \begin{bmatrix} \lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\\ \end{bmatrix}\\ [Ap_1,Ap_2,Ap_3][\lambda_1p_1,\lambda_2p_2,\lambda_3p_3]\\ \Downarrow\\ Ap_1\lambda_1p_1,Ap_2\lambda_2p_2,Ap_3\lambda_3p_3 A(p1,p2,p3)(p1,p2,p3) λ1λ2λ3 [Ap1,Ap2,Ap3][λ1p1,λ2p2,λ3p3]⇓Ap1λ1p1,Ap2λ2p2,Ap3λ3p3 那么 A A A的特征值 λ 1 , λ 2 , λ 3 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 λ1,λ2,λ3 A A A的特征向量 p 1 , p 2 , p 3 p_1,p_2,p_3 p1,p2,p3
因为 P P P可逆所以 p 1 , p 2 , p 3 p_1,p_2,p_3 p1,p2,p3线性无关。反之若 A A A有 3 3 3个无关的特征向量 p 1 , p 2 , p 3 p_1,p_2,p_3 p1,p2,p3满足 A p i λ i p i ( i 1 , 2 , 3 ) Ap_i\lambda_ip_i(i1,2,3) Apiλipi(i1,2,3)则有 A ( p 1 , p 2 , p 3 ) ( p 1 , p 2 , p 3 ) [ λ 1 λ 2 λ 3 ] A(p_1,p_2,p_3)(p_1,p_2,p_3) \begin{bmatrix} \lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\\ \end{bmatrix} A(p1,p2,p3)(p1,p2,p3) λ1λ2λ3 令 P [ p 1 , p 2 , p 3 ] , Λ [ λ 1 λ 2 λ 3 ] P[p_1,p_2,p_3],\Lambda\begin{bmatrix}\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3\\\end{bmatrix} P[p1,p2,p3],Λ λ1λ2λ3 则 P − 1 A P Λ P^{-1}AP\Lambda P−1APΛ 矩阵对角化的性质如下 n n n阶矩阵 A A A可对角化 ⇔ A \Leftrightarrow A ⇔A有 n n n个线性无关的特征向量且 A ∼ [ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ] A\thicksim \begin{bmatrix} \lambda_1\\ \lambda_2\\ \ddots\\ \lambda_n\\ \end{bmatrix} A∼ λ1λ2⋱λn n n n阶矩阵 A A A可对角化 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ λ i \lambda_i λi是 A A A的 n i n_i ni重特征值则 λ i \lambda_i λi有 n i n_i ni个线性无关的特征向量 ⇔ \Leftrightarrow ⇔秩 r ( λ E − A ) n − n i r(\lambda E-A)n-n_i r(λE−A)n−ni λ i \lambda_i λi为 n i n_i ni重特征值。
实对称矩阵
满足以下两个条件的方阵称为实对称矩阵 A A T AA^T AAT矩阵的元素全为实数。
实对称矩阵的性质如下
若矩阵 A A A是实对称矩阵则 A A A的特征值都是实数。 证明设 A α λ α A\alpha\lambda \alpha Aαλα则 A α ˉ λ α ˉ A ˉ α ˉ λ ˉ α ˉ \bar{A\alpha}\bar{\lambda\alpha}\\ \bar{A}\bar{\alpha}\bar{\lambda}\bar{\alpha}\\ AαˉλαˉAˉαˉλˉαˉ 因为 A A A是实对称矩阵所以 A ˉ A \bar{A}A AˉA A α ˉ λ ˉ α ˉ α T A α ˉ λ ˉ α T α ˉ A\bar{\alpha}\bar{\lambda}\bar{\alpha}\\\ \alpha^TA\bar{\alpha}\bar{\lambda}\alpha^T\bar{\alpha}\\ Aαˉλˉαˉ αTAαˉλˉαTαˉ 因为 α T A α ˉ \alpha^TA\bar{\alpha} αTAαˉ与 α T α ˉ \alpha^T\bar{\alpha} αTαˉ都是数所以 α T A α ˉ ( α T A α ˉ ) T λ α ˉ T α λ α T α ˉ α T α ˉ ( α T α ˉ ) T α ˉ T α ⇓ ( λ − λ ˉ ) α T α ˉ 0 \alpha^TA\bar{\alpha}(\alpha^TA\bar{\alpha})^T\lambda\bar{\alpha}^T\alpha\lambda\alpha^T\bar{\alpha}\\ \alpha^T\bar{\alpha}(\alpha^T\bar{\alpha})^T\bar{\alpha}^T\alpha\\ \Downarrow\\ (\lambda-\bar{\lambda})\alpha^T\bar{\alpha}0 αTAαˉ(αTAαˉ)TλαˉTαλαTαˉαTαˉ(αTαˉ)TαˉTα⇓(λ−λˉ)αTαˉ0 因为 α ≠ O \alpha\neq O αO所以 α T α ˉ 0 \alpha^T\bar{\alpha}0 αTαˉ0因此 λ λ ˉ \lambda\bar{\lambda} λλˉ实对称矩阵 A A A的不同特征值 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2所对应的特征向量 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2必正交。 证明由 A α 1 λ 1 α 2 , A α 2 λ 2 α 2 , λ 1 λ 2 A\alpha_1\lambda_1\alpha_2,A\alpha_2\lambda_2\alpha_2,\lambda_1\lambda_2 Aα1λ1α2,Aα2λ2α2,λ1λ2得 λ 1 α 2 α 1 α 1 T A α 1 α 2 T A T α 1 ( A α 2 ) T α 1 ( λ 2 α 2 ) T α 1 λ 2 α 2 T α 1 ⇓ ( λ 1 − λ 2 ) α 2 T α 1 0 \lambda_1\alpha_2\alpha_1\alpha_1^TA\alpha_1\alpha_2^TA^T\alpha_1(A\alpha_2)^T\alpha_1(\lambda_2\alpha_2)^T\alpha_1\lambda_2\alpha_2^T\alpha_1\\ \Downarrow\\ (\lambda_1-\lambda_2)\alpha_2^T\alpha_10\\ λ1α2α1α1TAα1α2TATα1(Aα2)Tα1(λ2α2)Tα1λ2α2Tα1⇓(λ1−λ2)α2Tα10 因为 λ 1 ≠ λ 2 \lambda_1\neq\lambda_2 λ1λ2所以 α 2 T α 1 0 \alpha_2^T\alpha_10 α2Tα10 n n n阶实对称矩阵 A A A必可对角化且总存在正交矩阵 Q Q Q使得 Q − 1 A Q Q T A Q [ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ] Q^{-1}AQQ^TAQ \begin{bmatrix} \lambda_1\\ \lambda_2\\ \ddots\\ \lambda_n\\ \end{bmatrix} Q−1AQQTAQ λ1λ2⋱λn 其中 λ 1 , λ 2 , … , λ n \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n λ1,λ2,…,λn是 A A A的特征值。 证明对 n n n用数学归纳法当 n 1 n1 n1时命题显然成立。假设 n − 1 n-1 n−1时命题成立对于 n n n阶矩阵 A A A设 λ 1 \lambda_1 λ1是 A A A的特征值 α 1 \alpha_1 α1是对应于 λ 1 \lambda_1 λ1的单位特征向量将 α 1 \alpha_1 α1扩充为 R n R^n Rn的一组规范正交基 α 1 , α 2 … , α n \alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_n α1,α2…,αn即 [ α 1 , α 2 … , α n ] [\alpha_1,\alpha_2\dots,\alpha_n] [α1,α2…,αn]是 n n n阶正交矩阵。由 A α 1 λ 1 α 1 A\alpha_1\lambda_1\alpha_1 Aα1λ1α1并设 A α 2 b 12 α 1 b 22 α 2 ⋯ b n 2 α n … A α n b 1 n α 1 b 2 n α 2 ⋯ b n n α n A\alpha_2b_{12}\alpha_1b_{22}\alpha_2\dotsb_{n2}\alpha_n\\ \dots\\ A\alpha_nb_{1n}\alpha_1b_{2n}\alpha_2\dotsb_{nn}\alpha_n Aα2b12α1b22α2⋯bn2αn…Aαnb1nα1b2nα2⋯bnnαn
