山东手机版建站系统信息,网站设计哪家口碑好,建设网站的建设费用包括什么科目,公司做网站让我们销售线性空间与线性变换综述1.2 线性变换及其矩阵1.2.3 特征值与特征向量综述
本系列博文主要总结学习矩阵论的心得笔记#xff0c;参考数目《矩阵论》–张凯院#xff1b;整个文章的整理体系参照行书过程。
1.2 线性变换及其矩阵
1.2.3 特征值与特征向量
本节讨论如何选择线…
线性空间与线性变换综述1.2 线性变换及其矩阵1.2.3 特征值与特征向量综述
本系列博文主要总结学习矩阵论的心得笔记参考数目《矩阵论》–张凯院整个文章的整理体系参照行书过程。
1.2 线性变换及其矩阵
1.2.3 特征值与特征向量
本节讨论如何选择线性空间的基使得线性变换在该组基下的矩阵表示最简单。而线性变换的特征值与特征向量对于线性变换的研究起着至关重要的作用 。
特征值与特征向量具有十分鲜明的几何意义特征向量x经过线性变换后方向保持不变长度发生λ\lambdaλ倍。严格的数学定义为 设数域K上的线性空间VnV_nVn中有一线性变换T对K中的某一数λ\lambdaλ存在非零向量x∈Vnx\in V_nx∈Vn使得 Txλx(1)Tx\lambda x(1)Txλx(1) 成立则称λ\lambdaλ为T的特征值x为T的属于λ\lambdaλ的特征向量。特征向量不是被特征值唯一确定的可以存在K倍特征向量关系。特征值却被特征向量唯一确定。
特征多项式 在线性空间中引入基后产生坐标即上述线性变换在空间VnV_nVn的一组基x1,x2,x3,...,xnx_1,x_2,x_3,...,x_nx1,x2,x3,...,xn下的矩阵为A,特征向量x在基下的坐标表示为(ξ1,ξ2,...,ξn)T(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)^T(ξ1,ξ2,...,ξn)T,则定义式1的坐标表示方法为: A[ξ1ξ2...ξn]λ[ξ1ξ2...ξn](2)A\begin{gathered} \begin{bmatrix} \xi_1 \\ \xi_2\\ ...\\\xi_n\\\end{bmatrix} \end{gathered}\lambda\begin{gathered} \begin{bmatrix} \xi_1 \\ \xi_2\\ ...\\\xi_n\\\end{bmatrix} \end{gathered}(2)A⎣⎢⎢⎡ξ1ξ2...ξn⎦⎥⎥⎤λ⎣⎢⎢⎡ξ1ξ2...ξn⎦⎥⎥⎤(2) 移项可得 (A−λI)[ξ1ξ2...ξn]0(3)(A-\lambda I)\begin{gathered} \begin{bmatrix} \xi_1 \\ \xi_2\\ ...\\\xi_n\\\end{bmatrix} \end{gathered}0(3)(A−λI)⎣⎢⎢⎡ξ1ξ2...ξn⎦⎥⎥⎤0(3) 由于特征向量x非零所以上式的解由矩阵(A−λI)(A-\lambda I)(A−λI)的行列式确定。当det(A−λI)0det(A-\lambda I)0det(A−λI)0时方程组3有非零解。我们称det(A−λI)0det(A-\lambda I)0det(A−λI)0为A的特征多项式特征多项式的零点det(A−λI)0det(A-\lambda I)0det(A−λI)0的解λ\lambdaλ为A 的特征值将特征值λ\lambdaλ带入方程组(3)解得的向量(ξ1,ξ2,...,ξn)T(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)^T(ξ1,ξ2,...,ξn)T为A对应与特征值λ\lambdaλ的特征向量。
**综上**求一个线性变换的特征值与特征向量只需找一组基将线性变换表成基下矩阵的形式求该矩阵的特征值与特征向量即可。
依据根与系数的关系有 特征值的和矩阵的迹 ∑i1nλi∑i1naiitrA\sum_{i1}^{n}\lambda_i\sum_{i1}^{n}a_{ii}tr A i1∑nλii1∑naiitrA 特征值的积矩阵的行列式 Πi1nλidetA\Pi_{i1}^{n}\lambda_idetA Πi1nλidetA
