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这篇博客将介绍一个任意矩阵的核和值域的关系#xff0c;并由此说明矩阵秩的意义、子空间维数、子空间正交。
1、矩阵的核#xff1a;N(A) A ∈ C m n A\in C^{m\times n} A∈Cmn#xff0c;矩阵的核#xff0c;记…核和值域的关系什么是矩阵的秩
这篇博客将介绍一个任意矩阵的核和值域的关系并由此说明矩阵秩的意义、子空间维数、子空间正交。
1、矩阵的核N(A) A ∈ C m × n A\in C^{m\times n} A∈Cm×n矩阵的核记作N(A)N是nullity的首字母。 N ( A ) { x ∣ A x 0 , x ∈ C n } N(A)\{x|Ax0,x\in C^n \} N(A){x∣Ax0,x∈Cn} A的核其实就是齐次方程组Ax0的所有解解空间。下面介绍解的情况。
rank(A)n则有唯一解且唯一解为0N(A){0}。rank(A)rn则有无穷多解且基本未知数个数为r自由未知数个数为n-rdim(N(A))n-r。
可用行阶梯形来理解上述定理。注意行初等变换不改变矩阵的解空间。 A x 0 ⇒ A ~ x 0 A ~ [ a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 … a 1 , n a 2 , 2 a 2 , 3 … a 2 , n ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ( 0 ) ⋱ a n − 1 , n 0 ⋯ a n , n ] Ax0 \Rightarrow \tilde Ax0\\ {\mathbf {\tilde A}}{\begin{bmatrix}a_{{1,1}}a_{{1,2}}a_{{1,3}}\ldots a_{{1,n}}\\ a_{{2,2}}a_{{2,3}}\ldots a_{{2,n}}\\ \vdots \ddots \ddots \vdots \\ (0)\ddots a_{{n-1,n}}\\ 0\cdots a_{{n,n}}\end{bmatrix}} Ax0⇒A~x0A~ a1,1⋮0a1,2a2,2(0)a1,3a2,3⋱⋯……⋱⋱a1,na2,n⋮an−1,nan,n 当rank(A)n时a_nn ≠ 0因此x_n0关注第n-1行 a n − 1 , n − 1 x n − 1 a n − 1 , n x n 0 a_{n-1,n-1}x_{n-1}a_{n-1,n}x_{n}0 an−1,n−1xn−1an−1,nxn0连锁反应将使得x_i0 i1n
当rank(A)r是a_rr ≠ 0因此x_r0所以x[0,0,0,*,*,*]r个0n-r个任意值。
2、矩阵的值域R(A) A ∈ C m × n A\in C^{m\times n} A∈Cm×n矩阵的值域记作R(A)R是range的首字母。 R ( A ) { y ∈ C m ∣ y A x , x ∈ C n } R(A)\{y\in C^m|yAx,x\in C^n \} R(A){y∈Cm∣yAx,x∈Cn} 值域就是A的列向量组所能张成的最大空间。
dim(R(A)) rank(A) rank(AH) dim(R(AH))秩-零化度定理rank(A)nullity(A)nnullity(A)dim(N(A))
可以从线性表出的角度去理解。注意矩阵的分块乘法。 y A x ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n \begin{aligned} y Ax \\ (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\\ x_1\alpha_1x_2\alpha_2\cdotsx_n\alpha_n \end{aligned} yAx(α1,α2,⋯,αn)(x1,x2,⋯,xn)Tx1α1x2α2⋯xnαn
3、子空间正交
所谓子空间正交就是子空间W1的所有向量和W2所有向量正交。 y , x A x , x ( A x ) H x x H A H x y,xAx,x(Ax)^Hxx^HA^Hx y,xAx,x(Ax)HxxHAHx 因此R(A)和N(AH)正交。
$R(A) \cap N(A^H){0} $ R ( A ) ⊕ N ( A H ) C m R(A) \oplus N(A^H) C^m R(A)⊕N(AH)Cm ⊕ \oplus ⊕是直和只有两个正交的空间才能进行直和运算。 直和对于V1V2中任何一个向量aa1a2其中a1属于V1a2属于V2这种表示是唯一的则称V1V2为直和。 4、子空间维数定理 V 1 V 2 { x 1 x 2 ∣ x 1 ∈ V 1 , x 2 ∈ V 2 } V 1 ∩ V 2 { x ∣ x ∈ V 1 , x ∈ V 2 } V_1V_2\{x_1x_2|x_1\in V_1,x_2\in V_2 \}\\ V_1\cap V_2\{x|x\in V_1,x\in V_2 \} V1V2{x1x2∣x1∈V1,x2∈V2}V1∩V2{x∣x∈V1,x∈V2}
子空间维数定理 d i m ( V 1 ) d i m ( V 2 ) d i m ( V 1 V 2 ) d i m ( V 1 ∩ V 2 ) dim(V_1)dim(V_2)dim(V_1V_2)dim(V1\cap V_2)\\ dim(V1)dim(V2)dim(V1V2)dim(V1∩V2) 可从三维空间理解。V1和V2是两个不相同的平面各自维数为2相加为4。和空间为整个三维空间交空间为一条直线即一维空间。
5、非齐次线性方程组的解
在第一节介绍了其次线性方程组Ax0的解下面介绍非齐次线性方程组Axb的解其中 A ∈ C m × n A\in C^{m\times n} A∈Cm×n A ˉ [ A , b ] \bar A[A,b] Aˉ[A,b]是增广矩阵。
如果rank(A)rank( A ˉ \bar A Aˉ)n则方程组有唯一解。如果rank(A)rank( A ˉ \bar A Aˉ)rn则方程组有无穷多解。解空间维数为r即基本未知数有r个自由未知数有n-r个。如果rank(A)rank( A ˉ \bar A Aˉ)则方程组无解解空间为空。不存在rank(A)rank( A ˉ \bar A Aˉ)
注意齐次方程组必定有解而非齐次方程组可能无解。
