沈阳做企业网站,scorilo wordpress,婚纱摄影网站建设方案,内蒙古通辽网站建设这篇博客就是讲证费马的#xff0c;没什么意思。 既然是要用群论证明费马小定理#xff0c;那么我们先用数论证明一下。 (以下的 p 为一个质数) 首先我们考虑 一个前置定理#xff1a; 第一个证明 若 $(c,p) 1$ (即 c 与 p 的 gcd 为 1)#xff0c;且 $ac ≡ bc (mod\ p)$ … 这篇博客就是讲证费马的没什么意思。 既然是要用群论证明费马小定理那么我们先用数论证明一下。 (以下的 p 为一个质数) 首先我们考虑 一个前置定理 第一个证明 若 $(c,p) 1$ (即 c 与 p 的 gcd 为 1)且 $ac ≡ bc (mod\ p)$ 那么由 $a ≡ b (mod\ p)$ 证 ∵$ac≡ bc ( mod\ p )$ ∴$(a-b)c≡0 (mod\ p)$ ∴(a-b)c 是 p 的整数倍 又∵$(c,p)1$ ∴$a-b≡0 (mod\ p)$即 $a≡b (mod\ p)$ 得证 第二个证明 然后我们进入正题假设有正整数 a (ap) 满足条件 $(a,p)1$ 那么我们将 a 乘上 1~p-1 后可以构成一个 %p 的完全剩余系 证 假设存在 $xa≡ya(mod\ p)$且 $x≠y$ ∵ a 与 p 互质 ∴原式成立当且仅当 $x≡y(mod\ p)$ 又∵x,y∈[1,p-1] ∴ $x≡y(mod\ p)$ 当且仅当 $xy$与已知条件矛盾 ∴得证假设不成立原命题成立 第三个证明 接下来证明 $a^{p-1}≡1 (mod\ p)$ 证 又∵$1,....,p-1$ 是 %p 的完全剩余系 ∴有 $1*2*...*(p-1) ≡ a*2a*3a*...*(p-1)a (mod\ p)$即$(p-1)!≡p-1!*a^{p-1} (mod\ p)$ 又 ∵ p 是质数所以 $((p-1)!,p)1$即 (p-1)! 与 p 互质 ∴ $a^{p-1}≡1(mod\ p)$ 得证 然后我们就进入第二个阶段用群论证明费马小定理吧。 首先如果你会证拉格朗日定理那么这里就没什么难度了。 那么我们先假设拉格朗日定理成立后面再来证明它。 哦对了拉格朗日定理是什么都还没讲呢 Lagrange定理 设 HG 如果|G|N, |H|n, 且有 [G:H]j 那么 Nnj 。 其中 [G:H]j 表示子群 H 在 G 中的左右陪集个数当然有可能 j 是无穷大。 所谓左右陪集的个数的含义就是左右陪集中本质不同的集合注意这里讲的是集合个数。 那么我们可以得到一个推论就是 对于 G 中的任意元素 a a 的阶为 |G| 的因子。 那么 a 的阶就是以 a 为生成元构成的群的大小a 就是 a 构成的一个循环群。 那么这里我们就可以证明出费马小定理了。 也就是说我们令 G 为 1~p-1 构成的 %p 意义下的乘法群p 仍然是质数 然后 G 中的任意元素 a 必然满足 $a^{p-1} %p 1$ 证 设 a 构成的循环群大小为 d则 $a^d ≡ 1 (mod\ p)$ 又∵根据 Lagrange定理 可得 d|(p-1) 令 j (p-1)/d ∵ $a^{d*j} ≡ 1(mod\ p)$ ∴ $a^{p-1} ≡ 1(mod\ p)$ 得证 然鹅 Lagrange定理 真的懒得证了所以这里就贴个网址你自己去看吧 提醒一下里面要用到陪集的性质也就是两个左(右)陪集满足 1. aHbH 2. aH∩bH∅ 顺便提一下这样可以连着蒙哥马利快速模的正确性一起证掉当然这里 p 还是质数 因为如果 $a^{p-1} ≡ 1(mod\ p) $那么也就是 $a*a^{p-2} ≡ 1(mod\ p)$ 根据逆元定义 $a^{p-2}%p$ 就是 a 在模 p 意义下的逆元咯~ 然后水过了一篇证明这能说是伪证么2333 转载于:https://www.cnblogs.com/Judge/p/10420927.html
