网站备案 icp备案,长沙房地产交易中心,字体logo设计在线生成器,制作网页代码大全在介绍统计学中最重要的定理之一-中心极限定理-之前#xff0c;我们先来想一个问题#xff1a;统计学的目的是什么#xff1f;根据Mathematical statistics with application 7th Edition书中所写的#xff1a;统计学的目的是基于从总体中的样本所获得的信息#…在介绍统计学中最重要的定理之一-中心极限定理-之前我们先来想一个问题统计学的目的是什么根据Mathematical statistics with application 7th Edition书中所写的统计学的目的是基于从总体中的样本所获得的信息对总体进行推断并且提供推断的准确性。这其中有几个关键词总体样本推断。总体的含义就是所研究对象的所有可能的数据比如全世界每个人的身高工厂上个月生产出来的每个灯泡的寿命等等。样本的概念是从总体中衍生出来的比如全世界任意20个人的身高工厂上个月任意100个灯泡的寿命样本就是总体的一个子集。通常情况下总体的数据是难以获得的而样本是容易得到的所以统计学的目的就是从样本数据来推断总体。接下来我们通过一个实际例子来介绍中心极限定理一个工厂所生产的灯泡的平均寿命是1000小时方差是25个小时。我买了36个灯泡装在家里那么这个9个灯泡的平均寿命超过1005小时的概率是多少求解问题的第一步是将实际问题抽象出数学模型。在实际应用中数学模型的建立远远要比解题方法更重要。首先定义随机变量由题中信息可得 那么问题的求解转化为求解 。我们并不知道随机变量 的概率分布因此我们需要将其转化为概率分布已知的随机变量这里就需要用到中心极限定理设定有 个独立且完全相同的随机变量 他们的期望 方差 。定义随机变量那么当 趋向于无穷大时随机变量 趋向于标准正态分布。回到我们的问题求解 我们并不清楚 这个随机变量的概率分布但是根据中心极限定理我们知道 的概率分布近似为标准正态分布当 足够大时其中 为总体的均值在此题中为1000 为标准差在此题中为5 为样本数量在此题中为样本灯泡的数量36。那么有其中 近似服从标准正态分布 从可以求得 的概率。中心极限定理实际上是揭示了任意一个总体中样本均值的分布规律。通常在教科书中在描述完中心极限定理后会出现3个字证明略。接下来本文使用随机变量特征函数的方式来对其进行证明。首先引入随机变量特征函数的概念。对于随机变量 定义其特征函数为 其中 为任意实数。那么对于 其特征函数为 为 的特征函数。 在0点处的泰勒展开形式为 所以 为而标准正态分布 特征函数也为 根据特征函数的唯一性定理所以 服从标准正态分布证毕。
