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已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

• 若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
• 若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。

示例 2：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出：0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 3 次得到输入数组。

示例 3：

输入：nums = [11,13,15,17]
输出：11
解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。

解法一

其实之前已经在 33 题 解法一中写过这个解法了，这里直接贴过来。

求最小值，遍历一遍当然可以，不过这里提到了有序数组，所以我们可以采取二分的方法去找，二分的方法就要保证每次比较后，去掉一半的元素。

这里我们去比较中点和端点值的情况，那么是根据中点和起点比较，还是中点和终点比较呢？我们来分析下。

• mid 和 start 比较

  mid > start : 最小值在左半部分。

  

  mid < start： 最小值在左半部分。

  

  无论大于还是小于，最小值都在左半部分，所以 mid 和 start 比较是不可取的。

• mid 和 end 比较

  mid < end：最小值在左半部分。

  

  

  mid > end：最小值在右半部分。

  

  所以我们只需要把 mid 和 end 比较，mid < end 丢弃右半部分（更新 end = mid），mid > end 丢弃左半部分（更新 start = mid）。直到 end 等于 start 时候结束就可以了。

但这样会有一个问题的，对于下边的例子，就会遇到死循环了。

问题出在，当数组剩两个的时候，mid = （start + end）/ 2，mid 取的就是 start。上图的例子， mid > end, 更新 start = mid，start 位置并不会变化。那么下一次 mid 的值也不会变，就死循环了。所以，我们要更新 start = mid + 1，同时也使得 start 指向了最小值。

综上，找最小值的代码就出来了。

public int findMin(int[] nums) {int start = 0;int end = nums.length - 1;while (start < end) {int mid = (start + end) >>> 1;if (nums[mid] > nums[end]) {start = mid + 1;} else {end = mid;}}return nums[start];
}

解法二

解法一中我们把 mid 和 end 进行比较，那么我们能不能把 mid 和 start 比较解决问题呢？

看一下之前的分析。

mid 和 start 比较

mid > start : 最小值在左半部分或者右半部分。

mid < start： 最小值在左半部分。

上边的问题就出在了 mid > start 中出现了两种情况，如果数组是有序的最小值出现在了左半部分，和mid < start 出现了同样的情况。所以我们其实只需要在更新 start 和 end 之前，判断数组是否已经有序，把这种情况单独考虑。有序的话，直接返回第一个元素即可。

public int findMin(int[] nums) {int start = 0;int end = nums.length - 1;while (start < end) {if (nums[start] < nums[end]) {return nums[start];}int mid = (start + end) >>> 1;//必须是大于等于，比如 nums=[9,8],mid 和 start 都指向了 9if (nums[mid] >= nums[start]) {start = mid + 1;} else {end = mid;}}return nums[start];
}

本质上其实和解法一是一样的。

此外还可以思考一个问题，如果给定的数组经过了一次变化，也就是给定的不是有序的，那么我们是不是就不用在过程中判断当前是不是有序数组了？

答案肯定是否定的了，比如 nums = [4,5,6,1,2,3]，经过一次更新，start 会指向 1，end 会指向 3，此时就变成有序了，所以在过程中我们必须判断数组是否有序。而解法一的好处就是，即使是有序的，也不影响我们的判断。